機率筆記

課本：A First Course in Probability 6e

機率三公理

令E為事件，S為樣本空間，P(E)記為事件E發生的機率，則
公理一 0 ≦ P(E) ≦ 1
公理二 P(S) = 1
公理三 對於任意互斥事件E1,E2,…的序列（即，當i ≠ j 時，EiEj=∅）

P(∞⋃i=1Ei)=∞∑i=1P(Ei)

公理三衍生1：空事件的發生機率為0
設有互斥事件序列E1,E2,…，其中E1=S,Ei=∅for i>1，則
P(S)=∞∑i=1=P(S)+∞∑i=2P(∞) =>P(∞)=0

公理三衍生2：公理三有限序列也成立
P(n⋃i=1Ei)=n∑i=1P(Ei)

一些簡單性質

1. P(Ec)=1−P(E)
   
2. 若E⊂F，則P(E)≤P(F) （證明於p.32）
   
3. P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(EF) （證明於p.32）
   
4. P(E1∪E2∪⋯∪En)=∑ni=1P(Ei)−∑i1<i2P()

Ch3 條件機率

P(E|F)：在F發生的情形下，E發生的機率
若P(F) > 0，則P(E|F)=P(EF)P(F)
同乘P(F) => P(F)P(E|F)=P(EF)

multiplication rule
P(E1E2E3…En)=P(E1)P(E2|E1)P(E3|E1E2)…P(En|E1…En−1)

證明 p.68

貝氏定理
今E, F為二事件，E=EF∪EFC
EF,EFC顯然為互斥事件，則由公理之
\begin{align} P(E) &= P(EF) + P(EF^C) \\  &= P(F)P(E|F) + P(F^C)P(E | F^C) \\  &= P(E|F)P(F) + P(E|F^C)[1-P(F)] \end