中學數學

高中數學

數列級數

1+2+⋯+n=n(n+1)2
12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6=n(n+12)(n+1)3
13+23+⋯+n3=n(n+1)22

指對數

• 任意數的0次方為1
  
• 0的非零任意數次方為0
  
• 0的零次方通常為undefine（黑洞？）

設a>0,b>0,m,n∈R

指數率

am⋅an=am+n
amn=amn
(ab)n=anbn
a−n=1an
amn=n√am

對數律

loga1=0
logaa=1
logamn=logam+logan
logamn=logam−logan
logaxm=mlogax
logax=1logxa
換底公式 logab=logcblogca(c>0, c≠1)

三角函數

sin(−x)=−sinx
cos(−x)=cosx
sin(π2−x)=cosx
cos(π2−x)=sinx
sin(π2+x)=cosx
cos(π2+x)=−sinx
sin(π−x)=sinx
cos(π−x)=−cosx
sin(π+x)=−sinx
cos(π−x)=−cosx

sin2x+cos2x=1
tan2x+1=sec2x
cot2x+1=csc2x

和差化積

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
sin(α−β)=sinαcosβ−sinβcosα
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ

倍角半倍角

sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x
tan2α=2tanα1−tan2α
sinα2=±√1−cosα2 (determine whether it is + or - by finding the quadrant that α2 lies in)
cosα2=±√1+cosα2 (same as above)
tanα2=1−cosαsinα=sinα1+cosα

國中數學

幾何

圓

多邊形

三角形△

角的性質

• 內角和：180°
  
• 外角和：360°
  
• 外角定理：任一外角等於與它不相鄰的另二個內角的和

邊的性質

設三邊長為a、b、c

• 對任意△，二邊和大於第三邊，二邊差小於第三邊
  
• 鈍角△ a2+b2<c2
  
• 銳角△ a2+b2>c2、b2+c2>a2、c2+a2>b2

全等及相似

全等

1. SSS全等：三邊分別對應相等
   
2. SAS全等：二邊和其夾角皆相等
   
3. AAS全等：二角和其中一角的對邊相等
   
4. ASA全等：二角和夾邊相等
   
5. RHS全等：對於直角△ ，斜邊和其中一股相等

相似

1. SSS相似：三對應邊成比例
   
2. AAA相似：三對應角相等
   
3. AA相似：二對應角相等
   
4. SAS相似：二對應邊成比例，且對應邊的夾角相等

心

內心：內切圓的圓心，取三內角平分線[1]交於一點可得，內心至三邊等距
外心：外接圓的圓心，取三中垂線[2]交於一點可得，外心至三頂點等距，直角三角形外心在斜邊中點
重心：三中線[3]交於一點可得。重心至頂點的距離恰為過此頂點中線的2/3。三中線將三角形切成六個面積相等的小三角形。

[1]：二線交於一點，所以其實二個內角平分線就夠了
[2]：同[1]，也是二線就夠了
[3]：中線為頂點至對邊中點的連線。同[1]，也是二線就夠了。

四邊形

平行四邊形

有二雙平行邊的四邊形

長方形（矩形）

四角直角的四邊形
四角直角保證有二雙平行邊，因此矩形為平行四邊形的特例

鳶形（箏形）

二雙鄰邊分別相等的四邊形
對角線互相垂直，其中一線被另一線平分，且平分它線的那條對角線亦平分頂角

菱形

四邊等長的四邊形，因此菱形為鳶形的特例
菱形對角線互相垂直平分，且對角線平分頂角

正方形

四角直角，四邊等長的四邊形
因此正方形為矩形和菱形的特例

梯形

一組邊平行，另一組邊不平行的四邊形

等腰梯形

不平行邊等長的梯形