線性代數筆記

行列式 (determinant)

二階行列式

\相乘-/相乘
設A=[abcd]
則det(A) = a * d - b * c

反矩陣

二階反矩陣

\互換，/加負號，再乘上1/det(A)
設A=[abcd]
則inv(A) = 1/det(A) * [d−b−ca]

可逆矩陣 invertible matrix

又稱非奇異矩陣(nonsingular matrix)
奇異：x ≠0 使得Ax = 0
若A為可逆，則

1. 存在B使得BA=In=AB
   
2. 反矩陣存在
   
3. Ax = 0只有零解 => Ax = 0的唯一解為x = 0
   
4. A列等價於In
   
5. rank(A) = n
   
6. A為若干基本列矩陣乘積
   
7. det(A) ≠ 0 （可以想想二階的情形，若det(A) = 0，套進二階反矩陣公式時，因分母不得為0，故反矩陣不存在 ）
   
8. adj(A)可逆
   
9. A的row / col vector線性獨立

向量空間

10公設

1. 向量加法封閉性
   
2. 純量積封閉性
   
3. 向量加法交換性
   
4. 向量加法結合性
   
5. 向量加法單位元
   
6. 向量加法反元素
   
7. 純量積對向量加法分配性
   
8. 純量積對純量加法分配性
   
9. 純量乘法對純量積結合性
   
10. 純量積之單位元

子空間

子空間的充要條件

設(V,+,⋅)為佈於F的向量空間，且W⊆V,W≠∅，則下列等價

1. (W,+,⋅)為(V,+,⋅)的子空間
   
2. ∀α∈F,u,v∈W，則u+v∈W且αv∈W
   
3. ∀α,β∈F,u,v∈W，則αu+βv∈W
   
4. ∀α∈F,u,v∈W，則αu+v∈W
   
5. ∀αi∈F,vi∈W,i=1,2,…,k，則∑ki=1αivi∈W

子空間的必要條件

若W為V的子空間，則

1. 0∈W
   
2. 若v∈W，則−v∈W

四個基本子空間

1. 行空間
   
2. 列空間
   
3. 核空間
   
4. 左核空間